【机器学习基础】系列博客为参考周志华老师的《机器学习》一书，自己所做的读书笔记。
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1.子集搜索与评价
我们能用很多属性描述一个西瓜，例如色泽、根蒂、敲声、纹理、触感等，但有经验的人往往只需看看根蒂、听听敲声就知道是否好瓜。换言之，对一个学习任务来说，给定属性集，其中有些属性可能很关键、很有用，另一些属性则可能没什么用。我们将属性称为“特征”（feature），对当前学习任务有用的属性称为“相关特征”（relevant feature）、没什么用的属性称为“无关特征”（irrelevant feature）。从给定的特征集合中选择出相关特征子集的过程，称为“特征选择”（feature selection）。
特征选择是一个重要的“数据预处理”（data preprocessing）过程，在现实机器学习任务中，获得数据之后通常先进行特征选择，此后再训练学习器，那么，为什么要进行特征选择呢？
有两个很重要的原因：首先，我们在现实任务中经常会遇到维数灾难问题，这是由于属性过多而造成的，若能从中选择出重要的特征，使得后续学习过程仅需在一部分特征上构建模型，则维数灾难问题会大为减轻，从这个意义上说，特征选择与降维有相似的动机。第二个原因是，去除不相关特征往往会降低学习任务的难度。
需要注意的是，特征选择过程必须确保不丢失重要特征，否则后续学习过程会因为重要信息的缺失而无法获得好的性能。给定数据集，若学习任务不同，则相关特征很可能不同，因此，特征选择中所谓的“无关特征”是指与当前学习任务无关。有一类特征称为“冗余特征”（redundant feature），它们所包含的信息能从其他特征中推演出来。例如，考虑立方体对象，若已有特征“底面长”“底面宽”，则“底面积”是冗余特征，因为它能从“底面长”与“底面宽”得到。冗余特征在很多时候不起作用，去除它们会减轻学习过程的负担。但有时冗余特征会降低学习任务的难度，例如若学习目标是估算立方体的体积，则“底面积”这个冗余特征的存在将使得体积的估算更容易；更确切地说，若某个冗余特征恰好对应了完成学习任务所需的“中间概念”，则该冗余特征是有益的。为简化讨论，我们假定数据中不涉及冗余特征，并且假定初始的特征集合包含了所有的重要信息。
欲从初始的特征集合中选取一个包含了所有重要信息的特征子集，若没有任何领域知识作为先验假设，那就只好遍历所有可能的子集了；然而这在计算上却是不可行的，因为这样做会遭遇组合爆炸，特征个数稍多就无法进行。可行的做法是产生一个“候选子集”，评价出它的好坏，基于评价结果产生下一个候选子集，再对其进行评价，$\cdots \cdots$这个过程持续进行下去，直至无法找到更好的候选子集为止。显然，这里涉及两个关键环节：如何根据评价结果获取下一个候选特征子集？如何评价候选特征子集的好坏？
第一个环节是“子集搜索”（subset search）问题。给定特征集合$\{a_1,a_2,…,a_d \}$，我们可将每个特征看作一个候选子集，对这$d$个候选单特征子集进行评价，假定$\{a_2 \}$最优，于是将$\{a_2 \}$作为第一轮的选定集；然后，在上一轮的选定集中加入一个特征，构成包含两个特征的候选子集，假定在这$d-1$个候选两特征子集中$\{a_2,a_4 \}$最优，且优于$\{a_2 \}$，于是将$\{a_2,a_4 \}$作为本轮的选定集；$\cdots \cdots$假定在第$k+1$轮时，最优的候选$(k+1)$特征子集不如上一轮的选定集，则停止生成候选子集，并将上一轮选定的$k$特征集合作为特征选择结果。这样逐渐增加相关特征的策略称为“前向”（forward）搜索。类似的，若我们从完整的特征集合开始，每次尝试去掉一个无关特征，这样逐渐减少特征的策略称为“后向”（backward）搜索。还可将前向与后向搜索结合起来，每一轮逐渐增加选定相关特征（这些特征在后续轮中将确定不会被去除）、同时减少无关特征，这样的策略称为“双向”（bidirectional）搜索。
亦称子集“生成与搜索”。
显然，上述策略都是贪心的，因为它们仅考虑了使本轮选定集最优，例如在第三轮假定选择$a_5$优于$a_6$，于是选定集为$\{a_2,a_4,a_5 \}$，然而在第四轮却可能是$\{a_2,a_4,a_6,a_8 \}$比所有的$\{a_2,a_4,a_5,a_i \}$都更优。遗憾的是，若不进行穷举搜索，则这样的问题无法避免。
第二个环节是“子集评价”（subset evaluation）问题。我们可以用信息增益作为评价准则。
更一般的，特征子集$A$实际上确定了对数据集$D$的一个划分，每个划分区域对应着$A$上的一个取值，而样本标记信息$Y$则对应着对$D$的真实划分，通过估算这两个划分的差异，就能对$A$进行评价。与$Y$对应的划分的差异越小，则说明$A$越好。信息熵仅是判断这个差异的一种途径，其他能判断两个划分差异的机制都能用于特征子集评价。
将特征子集搜索机制与子集评价机制相结合，即可得到特征选择方法。例如将前向搜索与信息熵相结合，这显然与决策树算法非常相似。事实上，决策树可用于特征选择，树结点的划分属性所组成的集合就是选择出的特征子集。
常见的特征选择方法大致可分为三类：过滤式（filter）、包裹式（wrapper）和嵌入式（embedding）。
