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【数学基础】第八课:概率分布

伯努利分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,概率函数,概率密度函数,概率分布函数

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Posted by x-jeff on October 23, 2019

本文为原创文章,未经本人允许,禁止转载。转载请注明出处。

1.概率分布

概率分布,是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验,则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率,即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示,则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布,即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同,概率分布取不同的表现形式。

⚠️概率分布指的是随机变量【所有】可能的取值以及其概率。

几种常见的概率分布:

  1. 离散型分布:两点分布,二项分布,泊松分布。其随机变量为离散型随机变量,即值可以逐个列举出来。
  2. 连续型分布:均匀分布,指数分布,正态分布。其随机变量为连续型随机变量,即值无法逐个列举出来。

1.1.离散型分布

1.1.1.伯努利分布

只有两个可能结果的试验,记这两个可能的结果为0和1,下面的定义就是建立在这类试验基础上的。

如果随机变量X只取0和1两个值,并且对应的概率为(其中0<p<1):

  • Pr(X=1)=p
  • Pr(X=0)=1p

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布(Bernoulli distribution),又称两点分布

若令q=1p,则X的概率函数可写为:

f(xp)={pxq1x,x=0,1;0,x≠0,1.

👉期望:

E(X)=1p+0q=p

👉方差:

Var(X)=E(X2)[E(X)]2=12p+02qp2=pq

1.1.2.二项分布

二项分布,即重复n次的伯努利试验,试验之间互相独立

如果独立重复抛10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布。

概率函数为:

b(k,n,p)=Cknpkqnk

其中:

  • n为独立实验的次数,如独立重复抛硬币10次。
  • k为事件发生的次数,如硬币正面朝上的次数。
  • p为事件发生的概率,如一次独立试验中硬币正面朝上的概率。

二项分布图像示例:

👉期望:np

👉方差:npq

1.1.3.泊松分布

❗️泊松分布适合描述【单位时间】内随机事件发生的次数的概率分布。

⚠️二项分布中如果n足够大,而p趋近于0时,二项分布趋近于泊松分布。证明见下:

limn,p0Cknpk(1p)nk=limn,p0n(n1)(n+1k)k!pk(1p)nk=limn,p0nkk!pk(1p)nk=limn,p0λkk!(1p)λpk=limn,p0λkk![(1p)1p]λ1(1p)k=limn,p0λkk!eλ

对上述推导过程的一些解释:

  • 式(1.2):因为n,所以有limnn(n1)(n+1k)=nk
  • 式(1.3):设λ=np,且λ为常数。
  • 式(1.4):
    • limp01(1p)k=1
    • 因为limx(1+1x)x=e,所以有limp0(1p)1p=e,其中x=1p

因此,泊松分布的概率函数为:

p(k,λ)=λkk!eλ

其中,λ>0,k=0,1,2,,n

👉期望:λ

👉方差:λ

1.1.3.1.关于λ的解释

👉关于λ=np的解释:

在特定时间段内(假设特定时间段长度t=1),如果将该时间段平均分成n份,可以用λnλ为常数)代表在这tn的极小的一个时间段内事件发生的概率p。因为当n趋于无穷大时,每个tn时间段内几乎不可能有事件发生,即p趋向于0,λnλ为常数)也趋向于0。p近似地与tn极小时间段的长度成正比。因此有p=λtn=λn,即λ=np

‼️λ表示了该事件在指定时间段发生的频度(即平均频数)。例如,每周3次违章,每分钟诞生1个婴儿等。可以理解为特定时间段(比如t)内,事件平均发生λ次。即进行n次试验(n表示将时间段t平均分成n份),事件发生的期望。

1.1.3.2.泊松分布的应用

泊松分布的概率函数可以写成两种不同的形式:

  1. 公式1:p=λkk!eλ,即我们之前一直在讨论的形式。
  2. 公式2:p=(λt)keλtk!

接下来通过一个实际的例子来看下两种形式的不同:

假设一家医院1个小时出生3个婴儿,那么接下来2个小时,一个婴儿都不出生的概率为多少?

p=(3×2)0e3×20!0.0025

如果对应公式1,则λ=2×3=6λ像1.1.3.1部分中所说的,为特定时间段(此处为2个小时)内,事情平均发生的次数(即2个小时内应出生6个婴儿,λ=6)。

如果对应公式2,则λ=3,t=2λ为单位时间内事情发生的次数,即1个小时出生的婴儿数,因此λ=3,t表示单位时间的个数。

1.2.连续型分布

1.2.1.均匀分布

概率密度函数为:

p(x)={1ba,axb0,others

其中a<b,且a,b均为常数。

⚠️注意:这里用的是概率密度函数,并不是之前离散型分布中的概率函数,相关区分请见本文第2部分。

👉期望:a+b2

👉方差:(ba)212

均匀分布的概率密度函数图像和概率分布函数(累积分布函数)的图像见下:

1.2.2.正态分布

若随机变量X服从一个位置参数为μ,尺度参数为σ的概率分布,且其概率密度函数为:

f(x)=12πσe(xμ)22σ2

则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作XN(μ,σ2),读作X服从N(μ,σ2),或X服从正态分布。

👉期望:μ

👉方差:σ2

⚠️当μ=0,σ=1时,正态分布就称为标准正态分布

正态分布的概率密度函数图像见下:

‼️当实验次数n变的非常大,几乎可以看成连续时,二项分布和泊松分布都可以近似看作正态分布。

正态分布的概率分布函数

F(x)=12πσxe(tμ)22σ2dt

1.2.3.指数分布

‼️指数分布是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布。

即距离下次事件发生的时间间隔为随机变量,其对应的概率分布。

指数分布是gamma分布的一个特殊情况。

概率密度函数

f(x)={λeλx,x>00,x0

其中λ>0是分布的一个参数,常被称为率参数。即每单位时间内发生某事件的次数(和1.1.3.2部分公式2中的λ是一个意思)。

指数分布的概率分布函数函数推导过程:

根据1.1.3.2部分公式2,泊松分布的概率函数为:p=(λt)keλtk!。如果单位时间内事件未发生,则有k=0,代入求得:p=eλt。反过来,若单位时间内有事件发生:p=1eλt,即指数分布的概率分布函数。对t求导,就得到其概率密度函数,即λeλt,和前文的公式一致。

👉举个应用实例:

假设一家医院1个小时出生3个婴儿,那么接下来15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率为:

p(0.25X0.5)=p(X0.5)p(X0.25)=(1e3×0.5)(1e3×0.25)0.2492

👉期望:1λ

指数分布概率密度函数的期望可以理解为预期事件发生的间隔时间。即这次事件发生后,下次事件预期多久后会发生。

👉方差:1λ2

2.概率函数、概率密度函数、概率分布函数

2.1.概率函数

概率函数是针对离散型概率分布来说的。

根据概率函数可以求得离散型随机变量取某一值时的概率。

2.2.概率密度函数

概率密度函数是针对连续型概率分布来说的。

根据概率密度函数可以求得连续型随机变量取某一值时的概率密度

如下图中的(b)所示:

上图(b)中,a,b为连续型随机变量的取值,f(x)为概率密度。

此时,概率=区间×概率密度。即上图(b)中阴影部分的面积表示连续型随机变量aXb时的概率。

类似于质量=体积×密度

2.3.概率分布函数

⚠️注意区分【概率分布】和【概率分布函数】。

2.3.1.离散型随机变量的概率分布

对于离散型随机变量,设x1,x2,,xn为变量X的取值,而p1,p2,,pn为对应上述取值的概率,则离散型随机变量X的概率分布为:

P(X=xi)=pi,i=1,2,...,n

且满足ni=1pi=1。因此,离散型随机变量X的概率分布函数为:

F(x)=P(Xx)=xixpi

其实概率分布函数就是概率函数取值的累加结果,因此又叫累积概率函数

2.3.2.连续型随机变量的概率分布

对于连续型随机变量,设变量X取值区间为(a,b),并假设其概率分布函数F(x)为单调增函数,且在<x<间可微分及其导数F(x)在此区间连续,则变量X落在x至(x+Δx)区间内的概率为:

P(xXx+Δx)=F(x+Δx)F(x)

为描述其概率分布规律,这时不可能用分布列表示,而是引入“概率密度函数”f(x)的新概念。定义概率分布函数F(x)的导数F(x)概率密度函数f(x),即:

f(x)=F(x)=limΔx0F(x+Δx)F(x)Δx

于是连续型随机变量X的概率分布函数可写为常用的概率积分公式的形式:

F(x)=xf(x)dx

F(x)图像见2.2部分图(a)。

有时称概率密度函数f(x)的图像为分布曲线,概率分布函数F(x)的图像为累积分布曲线

因此也可求得X落在某一区间(x1,x2)内的概率:

P(x1Xx2)=F(x2)F(x1)=x2x1f(x)dx

与离散型随机变量的概率函数一样,对于概率密度函数,有:

f(x)0,f(x)dx=1

3.参考资料

  1. 概率分布(百度百科)
  2. 伯努利分布(百度百科)
  3. 应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?
  4. 概率分布函数(百度百科)
  5. 正态分布(百度百科)
  6. 指数分布(百度百科)

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