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1.概率分布
概率分布,是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验,则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率,即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示,则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布,即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同,概率分布取不同的表现形式。
⚠️概率分布指的是随机变量【所有】可能的取值以及其概率。
几种常见的概率分布:
- 离散型分布:两点分布,二项分布,泊松分布。其随机变量为离散型随机变量,即值可以逐个列举出来。
- 连续型分布:均匀分布,指数分布,正态分布。其随机变量为连续型随机变量,即值无法逐个列举出来。
1.1.离散型分布
1.1.1.伯努利分布
只有两个可能结果的试验,记这两个可能的结果为0和1,下面的定义就是建立在这类试验基础上的。
如果随机变量X只取0和1两个值,并且对应的概率为(其中0<p<1):
- Pr(X=1)=p
- Pr(X=0)=1−p
则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布(Bernoulli distribution),又称两点分布。
若令q=1−p,则X的概率函数可写为:
f(x∣p)={pxq1−x,x=0,1;0,x≠0,1.👉期望:
E(X)=1⋅p+0⋅q=p👉方差:
Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=12⋅p+02⋅q−p2=pq1.1.2.二项分布
二项分布,即重复n次的伯努利试验,试验之间互相独立。
如果独立重复抛10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布。
概率函数为:
b(k,n,p)=Cknpkqn−k其中:
- n为独立实验的次数,如独立重复抛硬币10次。
- k为事件发生的次数,如硬币正面朝上的次数。
- p为事件发生的概率,如一次独立试验中硬币正面朝上的概率。
二项分布图像示例:
👉期望:np
👉方差:npq
1.1.3.泊松分布
❗️泊松分布适合描述【单位时间】内随机事件发生的次数的概率分布。
⚠️二项分布中如果n足够大,而p趋近于0时,二项分布趋近于泊松分布。证明见下:
limn→∞,p→0Cknpk(1−p)n−k=limn→∞,p→0n(n−1)⋯(n+1−k)k!pk(1−p)n−k=limn→∞,p→0nkk!pk(1−p)n−k=limn→∞,p→0λkk!(1−p)λp−k=limn→∞,p→0λkk![(1−p)1−p]−λ1(1−p)k=limn→∞,p→0λkk!e−λ对上述推导过程的一些解释:
- 式(1.2):因为n→∞,所以有limn→∞n(n−1)⋯(n+1−k)=nk。
- 式(1.3):设λ=np,且λ为常数。
- 式(1.4):
- limp→01(1−p)k=1。
- 因为limx→∞(1+1x)x=e,所以有limp→0(1−p)1−p=e,其中x=−1p。
因此,泊松分布的概率函数为:
p(k,λ)=λkk!e−λ其中,λ>0,k=0,1,2,…,n。
👉期望:λ
👉方差:λ
1.1.3.1.关于λ的解释
👉关于λ=np的解释:
在特定时间段内(假设特定时间段长度t=1),如果将该时间段平均分成n份,可以用λn(λ为常数)代表在这tn的极小的一个时间段内事件发生的概率p。因为当n趋于无穷大时,每个tn时间段内几乎不可能有事件发生,即p趋向于0,λn(λ为常数)也趋向于0。p近似地与tn极小时间段的长度成正比。因此有p=λtn=λn,即λ=np。
‼️λ表示了该事件在指定时间段发生的频度(即平均频数)。例如,每周3次违章,每分钟诞生1个婴儿等。可以理解为特定时间段(比如t)内,事件平均发生λ次。即进行n次试验(n表示将时间段t平均分成n份),事件发生的期望。
1.1.3.2.泊松分布的应用
泊松分布的概率函数可以写成两种不同的形式:
- 公式1:p=λkk!e−λ,即我们之前一直在讨论的形式。
- 公式2:p=(λt)ke−λtk!。
接下来通过一个实际的例子来看下两种形式的不同:
假设一家医院1个小时出生3个婴儿,那么接下来2个小时,一个婴儿都不出生的概率为多少?
p=(3×2)0e−3×20!≈0.0025如果对应公式1,则λ=2×3=6。λ像1.1.3.1部分中所说的,为特定时间段(此处为2个小时)内,事情平均发生的次数(即2个小时内应出生6个婴儿,λ=6)。
如果对应公式2,则λ=3,t=2。λ为单位时间内事情发生的次数,即1个小时出生的婴儿数,因此λ=3,t表示单位时间的个数。
1.2.连续型分布
1.2.1.均匀分布
概率密度函数为:
p(x)={1b−a,a⩽x⩽b0,others其中a<b,且a,b均为常数。
⚠️注意:这里用的是概率密度函数,并不是之前离散型分布中的概率函数,相关区分请见本文第2部分。
👉期望:a+b2
👉方差:(b−a)212
均匀分布的概率密度函数图像和概率分布函数(累积分布函数)的图像见下:
1.2.2.正态分布
若随机变量X服从一个位置参数为μ,尺度参数为σ的概率分布,且其概率密度函数为:
f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作X∼N(μ,σ2),读作X服从N(μ,σ2),或X服从正态分布。
👉期望:μ
👉方差:σ2
⚠️当μ=0,σ=1时,正态分布就称为标准正态分布。
正态分布的概率密度函数图像见下:
‼️当实验次数n变的非常大,几乎可以看成连续时,二项分布和泊松分布都可以近似看作正态分布。
正态分布的概率分布函数:
F(x)=1√2πσ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt1.2.3.指数分布
‼️指数分布是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布。
即距离下次事件发生的时间间隔为随机变量,其对应的概率分布。
指数分布是gamma分布的一个特殊情况。
概率密度函数:
f(x)={λe−λx,x>00,x⩽0其中λ>0是分布的一个参数,常被称为率参数。即每单位时间内发生某事件的次数(和1.1.3.2部分公式2中的λ是一个意思)。
指数分布的概率分布函数函数推导过程:
根据1.1.3.2部分公式2,泊松分布的概率函数为:p=(λt)ke−λtk!。如果单位时间内事件未发生,则有k=0,代入求得:p=e−λt。反过来,若单位时间内有事件发生:p=1−e−λt,即指数分布的概率分布函数。对t求导,就得到其概率密度函数,即λe−λt,和前文的公式一致。
👉举个应用实例:
假设一家医院1个小时出生3个婴儿,那么接下来15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率为:
p(0.25⩽X⩽0.5)=p(X⩽0.5)−p(X⩽0.25)=(1−e−3×0.5)−(1−e−3×0.25)≈0.2492👉期望:1λ
指数分布概率密度函数的期望可以理解为预期事件发生的间隔时间。即这次事件发生后,下次事件预期多久后会发生。
👉方差:1λ2
2.概率函数、概率密度函数、概率分布函数
2.1.概率函数
概率函数是针对离散型概率分布来说的。
根据概率函数可以求得离散型随机变量取某一值时的概率。
2.2.概率密度函数
概率密度函数是针对连续型概率分布来说的。
根据概率密度函数可以求得连续型随机变量取某一值时的概率密度。
如下图中的(b)所示:
上图(b)中,a,b为连续型随机变量的取值,f(x)为概率密度。
此时,概率=区间×概率密度。即上图(b)中阴影部分的面积表示连续型随机变量a⩽X⩽b时的概率。
类似于质量=体积×密度
2.3.概率分布函数
⚠️注意区分【概率分布】和【概率分布函数】。
2.3.1.离散型随机变量的概率分布
对于离散型随机变量,设x1,x2,…,xn为变量X的取值,而p1,p2,…,pn为对应上述取值的概率,则离散型随机变量X的概率分布为:
P(X=xi)=pi,i=1,2,...,n且满足∑ni=1pi=1。因此,离散型随机变量X的概率分布函数为:
F(x)=P(X⩽x)=∑xi⩽xpi其实概率分布函数就是概率函数取值的累加结果,因此又叫累积概率函数。
2.3.2.连续型随机变量的概率分布
对于连续型随机变量,设变量X取值区间为(a,b),并假设其概率分布函数F(x)为单调增函数,且在−∞<x<∞间可微分及其导数F′(x)在此区间连续,则变量X落在x至(x+Δx)区间内的概率为:
P(x⩽X⩽x+Δx)=F(x+Δx)−F(x)为描述其概率分布规律,这时不可能用分布列表示,而是引入“概率密度函数”f(x)的新概念。定义概率分布函数F(x)的导数F′(x)为概率密度函数f(x),即:
f(x)=F′(x)=limΔx→0F(x+Δx)−F(x)Δx于是连续型随机变量X的概率分布函数可写为常用的概率积分公式的形式:
F(x)=∫x−∞f(x)dxF(x)图像见2.2部分图(a)。
有时称概率密度函数f(x)的图像为分布曲线,概率分布函数F(x)的图像为累积分布曲线。
因此也可求得X落在某一区间(x1,x2)内的概率:
P(x1⩽X⩽x2)=F(x2)−F(x1)=∫x2x1f(x)dx与离散型随机变量的概率函数一样,对于概率密度函数,有:
f(x)⩾0,∫∞−∞f(x)dx=1