【机器学习基础】系列博客为参考周志华老师的《机器学习》一书，自己所做的读书笔记。
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1.隐马尔可夫模型
机器学习最重要的任务，是根据一些已观察到的证据（例如训练样本）来对感兴趣的未知变量（例如类别标记）进行估计和推测。概率模型（probabilistic model）提供了一种描述框架，将学习任务归结于计算变量的概率分布。在概率模型中，利用已知变量推测未知变量的分布称为“推断”（inference），其核心是如何基于可观测变量推测出未知变量的条件分布。具体来说，假定所关心的变量集合为$Y$，可观测变量集合为$O$，其他变量的集合为$R$，“生成式”（generative）模型考虑联合分布$P(Y,R,O)$，“判别式”（discriminative）模型考虑条件分布$P(Y,R \mid O)$。给定一组观测变量值，推断就是要由$P(Y,R,O)$或$P(Y,R \mid O)$得到条件概率分布$P(Y \mid O)$。
基于学习器进行预测，例如根据纹理、颜色、根蒂等信息判断一个瓜是否为好瓜就是在做推断；但推断远超出预测范畴，例如在吃到一个不见根蒂的好瓜时，“由果溯因”逆推其根蒂的状态也是推断。
直接利用概率求和规则消去变量$R$显然不可行，因为即便每个变量仅有两种取值的简单问题，其复杂度已至少是$O(2^{\lvert Y \rvert + \lvert R \rvert})$。另一方面，属性变量之间往往存在复杂的联系，因此概率模型的学习，即基于训练样本来估计变量分布的参数往往相当困难。为了便于研究高效的推断和学习算法，需有一套能简洁紧凑地表达变量间关系的工具。
概率图模型（probabilistic graphical model）是一类用图来表达变量相关关系的概率模型。它以图为表示工具，最常见的是用一个结点表示一个或一组随机变量，结点之间的边表示变量间的概率相关关系，即“变量关系图”。根据边的性质不同，概率图模型可大致分为两类：第一类是使用有向无环图表示变量间的依赖关系，称为有向图模型或贝叶斯网（Bayesian network）；第二类是使用无向图表示变量间的相关关系，称为无向图模型或马尔可夫网（Markov network）。
若变量间存在显式的因果关系，则常使用贝叶斯网；若变量间存在相关性，但难以获得显式的因果关系，则常使用马尔可夫网。
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，简称HMM）是结构最简单的动态贝叶斯网（dynamic Bayesian network），这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模，在语音识别、自然语言处理等领域有广泛应用。
静态贝叶斯网参见：【机器学习基础】第二十五课：贝叶斯网。
如图14.1所示，隐马尔可夫模型中的变量可分为两组。第一组是状态变量$\{ y_1,y_2,…,y_n \}$，其中$y_i \in \mathcal{Y}$表示第$i$时刻的系统状态。通常假定状态变量是隐藏的、不可被观测的，因此状态变量亦称隐变量（hidden variable）。第二组是观测变量$\{ x_1,x_2,…,x_n \}$，其中$x_i \in \mathcal{X}$表示第$i$时刻的观测值。在隐马尔可夫模型中，系统通常在多个状态$\{ s_1,s_2,…,s_N \}$之间转换，因此状态变量$y_i$的取值范围$\mathcal{Y}$（称为状态空间）通常是有$N$个可能取值的离散空间。观测变量$x_i$可以是离散型也可以是连续型，为便于讨论，我们仅考虑离散型观测变量，并假定其取值范围$\mathcal{X}$为$\{ o_1,o_2,…,o_M \}$。
图14.1中的箭头表示了变量间的依赖关系。在任一时刻，观测变量的取值仅依赖于状态变量，即$x_t$由$y_t$确定，与其他状态变量及观测变量的取值无关。同时，$t$时刻的状态$y_t$仅依赖于$t-1$时刻的状态$y_{t-1}$，与其余$n-2$个状态无关。这就是所谓的“马尔可夫链”（Markov chain），即：系统下一时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态。基于这种依赖关系，所有变量的联合概率分布为：
\[P(x_1,y_1,...,x_n,y_n) = P(y_1)P(x_1 \mid y_1) \prod _{i=2}^n P(y_i \mid y_{i-1}) P(x_i \mid y_i) \tag{1}\]除了结构信息，欲确定一个隐马尔可夫模型还需以下三组参数：
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状态转移概率：模型在各个状态间转换的概率，通常记为矩阵$\mathbf{A} = [a_{ij}]_{N \times N}$，其中：
\[a_{ij} = P(y_{t+1} = s_j \mid y_t = s_i), \quad 1 \leqslant i,j \leqslant N\]表示在任意时刻$t$，若状态为$s_i$，则在下一时刻状态为$s_j$的概率。
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输出观测概率：模型根据当前状态获得各个观测值的概率，通常记为矩阵$\mathbf{B} = [b_{ij}]_{N \times M}$，其中：
\[b_{ij}=P(x_t=o_j \mid y_t=s_i), \quad 1 \leqslant i \leqslant N, 1\leqslant j \leqslant M\]表示在任意时刻$t$，若状态为$s_i$，则观测值$o_j$被获取的概率。
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初始状态概率：模型在初始时刻各状态出现的概率，通常记为$\mathbf{\pi} = (\pi_1,\pi_2,…,\pi_N)$，其中：
\[\pi_i = P(y_1=s_i), \quad 1 \leqslant i \leqslant N\]表示模型的初始状态为$s_i$的概率。
通过指定状态空间$\mathcal{Y}$、观测空间$\mathcal{X}$和上述三组参数，就能确定一个隐马尔可夫模型，通常用其参数$\lambda = [\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{\pi}]$来指代。给定隐马尔可夫模型$\lambda$，它按如下过程产生观测序列$\{ x_1,x_2,…,x_n \}$：
- 设置$t=1$，并根据初始状态概率$\mathbf{\pi}$选择初始状态$y_1$；
- 根据状态$y_t$和输出观测概率$\mathbf{B}$选择观测变量取值$x_t$；
- 根据状态$y_t$和状态转移矩阵$\mathbf{A}$转移模型状态，即确定$y_{t+1}$；
- 若$t<n$，设置$t=t+1$，并转到第2步，否则停止。
其中$y_t \in \{ s_1,s_2,…,s_N \}$和$x_t \in \{ o_1,o_2,…,o_M \}$分别为第$t$时刻的状态和观测值。
在实际应用中，人们常关注隐马尔可夫模型的三个基本问题：
- 给定模型$\lambda = [\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{\pi}]$，如何有效计算其产生观测序列$\mathbf{x}= \{ x_1,x_2,…,x_n \}$的概率$P(\mathbf{x} \mid \lambda)$？换言之，如何评估模型与观测序列之间的匹配程度？
- 给定模型$\lambda = [\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{\pi}]$和观测序列$\mathbf{x}=\{x_1,x_2,…,x_n \}$，如何找到与此观测序列最匹配的状态序列$\mathbf{y}=\{ y_1,y_2,…,y_n\}$？换言之，如何根据观测序列推断出隐藏的模型状态？
- 给定观测序列$\mathbf{x}=\{x_1,x_2,…,x_n \}$，如何调整模型参数$\lambda=[\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{\pi}]$使得该序列出现的概率$P(\mathbf{x}\mid \lambda )$最大？换言之，如何训练模型使其能最好地描述观测数据？
上述问题在现实应用中非常重要。例如许多任务需根据以往的观测序列$\{x_1,x_2,…,x_{n-1}\}$来推测当前时刻最有可能的观测值$x_n$，这显然可转化为求取概率$P(\mathbf{x}\mid \lambda)$，即上述第一个问题；在语音识别等任务中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，目标就是根据观测信号来推断最有可能的状态序列（即对应的文字），即上述第二个问题；在大多数现实应用中，人工指定模型参数已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优的模型参数，恰是上述第三个问题。值得庆幸的是，基于式(1)的条件独立性，隐马尔可夫模型的这三个问题均能被高效求解。
